Chapitre I : Ensembles

Réflexivité :	Quel que soit a  E, aRa.
Symétrie :	Quel que soit (a et b)  E, si aRb, alors bRa.
Transitivité :	Quel que soit (a,b et c)  E, si aRb et bRc, alors aRc.
Antisymétrie :	Quel que soit (a et b)  E, si aRb et bRa, alors a=b.

Relation d’ordre : Réflexivité, Antisymétrie, Transitivité. (RAT).
Relation d’équivalence : Réflexivité, Symétrie, Transitivité. (RST).

Classe d’équivalence (de a sur E = ) : = {xE / aRx}
Ensemble-quotient (de E par R) : { / aE}
Partition (de E = ensemble Q de parties de E tel que) :
L’ensemble vide n’appartient pas à Q.
Deux éléments distincts de Q sont disjoints.
Tout élément de E appartient à un élément de Q.

Soit  : E→F avec xE et yF :

Injection : « y » possède au plus un antécédent.
Surjection :  « y » possède au moins un antécédent.
Bijection : « y » possède un et un seul antécédent.
ou     , bijection ssi  une application g de F vers E telle que :	g=IdE  et  g=IdF.
ou     , bijection ssi  injective et  surjective.

Restriction :   g(x)=f(x)    xE1. Avec E1  E. La restriction de f à E1 est notée f E1

Produit cartésien : de deux ensembles A et B est l’ensemble des couples (a,b) où a est élément de A et b élément de B.

Graphe : d’une relation  sur un ensemble E est l’ensemble des couples (a,b) de EE tels que ab.

Propositions :
*Pour tout ensemble fini A, si n désigne le nombre d’éléments de A, le nombre d’éléments des parties de A est 2n.
*Pour tout ensembles finis A et B, si m désigne le nombre d’éléments de A et n le nombre d’éléments de B, mn est le nombre d’éléments de AB.
*Soit ~ une relation d’équivalence sur un ensemble E. L’ensemble-quotient E/~ est une partition de E.

Chapitre II : Entiers Naturels

Principe de récurrence (dit de récurrence faible) : 
Soit (Hn) un énoncé dépendant d’un paramètre entier n. Si les deux énoncés suivants sont vrais, alors :  n0, (Hn) est vraie.
-H(0)
-Pour tout n0, ((Hn) (Hn+1))

Principe de récurrence forte : 
Soit (Hn) un énoncé dépendant d’un paramètre entier n. Si les deux énoncés suivants sont vrais, alors :  n0, (Hn) est vraie.
-H(0)
- Pour tout n0, ((pour tout kn, (Hk)) (Hn+1))

Propositions :
*Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 peut s’écrire comme produit de nombres premiers.
*Z est dénombrable.
*Toute partie d’un ensemble dénombrable est finie ou dénombrable.
*La réunion de deux ensembles dénombrable est dénombrable.

Dénombrable : (un ensemble E est) lorsqu’il existe une bijection entre N et E.
Suite : d’éléments de E est une application de N vers E.
K-uplet : d’éléments de E est une application de {0,1,2…,k-1} vers E.

Chapitre III : Groupes

Opération : application de EE vers E.
Commutativité :  a, b de E, a*b=b*a.
Associativité :  a, b, c de E, (a*b)*c=a*(b*c).
Elément neutre :  a de E, e de E est élément neutre pour * ssi a*e=e*a=a.
Symétrie : b symétrique (ou inverse) de a ssi a*b=b*a=e.
Morphisme : soit E muni de *E et F muni de *F.  : EF morphisme ssi  a, b de E, on a :
(a *E b)=(a) *F (b).
Isomorphisme : morphisme bijectif.

Groupe : G, groupe ssi : 	 -* est associative
-* possède e
-Tout élément de G possède un symétrique pour *
G abélien  G commutatif
Sous-groupe : G, sous-groupe ssi :	 -H n’est pas vide
- a, b de H, le produit ab H
- a de H, l’inverse « a-1 » de a  H.
Noyau : Soit  morphisme de groupes, allant de G vers G’, dont l’élément neutre est noté e’. Le noyau de  est par définition l’ensemble des éléments x de G tels que (x)=e’

Ordre et Ordre infini : Soit a un élément d’un groupe, dont le neutre est noté e.
Si  n1, ane, on dit que a est d’ordre infini. 
Si  n1, an=e, on dit que n est l’ordre de a.
 
 Propositions :
* Une opération possède au plus un élément neutre.
* Pour une opération associative possédant un élément neutre, chaque élément possède au plus un symétrique.
* Soit G un groupe noté multiplicativement. Alors  a, b, x de G :	-si ax=bx, alors a=b.
-si xa=xb, alors a=b.
-le symétrique de ab est b-1a-1.
* Soit  un morphisme d’un groupe G, d’élément neutre e, vers un groupe G’, d’élément neutre e’. Alors (e)=e’ et,  a de G, [(a)]-1=(a-1).
* Soit E un ensemble. L’ensemble des bijections de E forme un groupe pour la composition « o ».
* Soit G un groupe. Un sous-ensemble H de G est un sous-groupe de G ssi :
		-H n’est pas vide.			- a, b de H, le produit ab-1 est aussi dans H.
* Le noyau d’un morphisme est un sous-groupe du groupe de départ.
* Soit  un morphisme de groupes, e le neutre du groupe de départ. L’application  est injective ssi
Ker ={e}.
* Soit a un élément d’un groupe et n, m deux entiers. Alors am+n=aman et (am)n= amn.
* Soit G un groupe fini et H un sous-ensemble de G. Alors H est un sous-groupe de G ssi :
		-H n’est pas vide.			- a, b de H, le produit ab est aussi dans H.

Théorèmes :
§ Soit G un groupe et H un ss-groupe de G. La restriction à H de l’opération sur G fait de H un groupe.
§ Soit G un groupe fini et H un ss-groupe de G. Alors le nombre d’éléments de H divise le nombre d’éléments de G.
§ Soit a un élément d’un groupe. L’ordre de a est égale   au nombre d’éléments de <a>.
     a l’ordre de <a>.

Chapitre IV : Anneaux, Corps.

Anneau : Soit A un ensemble muni de deux opérations, notées + et . A est un anneau ssi :
- Pour l’addition, A est un groupe commutatif.
- La multiplication est associative.
- La multiplication possède un e.
-  a,b,c de A, (a+b)c = ac+bc et c(a+b) = ca+cb.

Anneau commutatif : Sa multiplication est commutative.

Anneau intègre : ssi :
- A possède au moins deux éléments.
-  a,b non nuls de A, ab0.

Un Anneau est un Corps commutatif ssi: 
- La multiplication est commutative.
- K possède au moins deux éléments.
- Tout élément non nul de K possède un inverse pour la multiplication.

Exemples de corps commutatifs :
	Q (ensemble des fractions), R et C…

Chapitre V : Arithmétique

Multiple, Diviseur : a multiple de b, ou b diviseur de a ssi  k tel que a=kb . (a,b et k entiers)
Nombre premier : p2 premier ssi ses seuls diviseur  sont 1 et lui-même.

PPCM (a,b): m multiple de a et de b  m multiple de M. Alors M=ppcm(a,b).
PGDC (a,b): d divise a et b  d divise D. Alors D=pgcd(a,b).
Pour r reste de la division euclidienne de a par b :  Pgcd(a,b) = Pgcd(b,r)

Deux nombres premiers entre eux : Leurs seul diviseur commun positif est 1.
Congruences :
a congru à b modulo n ssi (b-a) est multiple de n  a  b[n]. (Pour (a et b)R et n1). 
La relation  est une relation d’équivalence sur Z.
Z/nZ = l’ensemble-quotient de Z par la relation d'équivalence « est congru à » modulo n
ON NOTERA DESORMAIS = (dans Z/nZ) au lieu de a e[n].

Propositions :
* Si ab [n] alors a+bb+c [n] et acbc [n].
*  n1, Z/nZ possède exactement n éléments.
*  n1, Z/nZ est un anneau commutatif.

Théorèmes :
§  une infinité de nombres premiers. (Théorème d’Euclide)
§ a, entier relatif et b1, entier strictement positif . Alors  un couple (q,r) unique (d’entiers) vérifiant la double condition : A=bq+r	et	0<=r<b. 
§ Tout entier n2 peut être écrit comme unique produit de facteurs premiers.

§ Tout entier n2 peut être écrit comme produit de facteurs premiers.
De plus si on dispose de deux écritures :
n=p1a1 p2a2 …	pkak	et	n=q1b1 q2b2…qlbl   dans lesquelles k1, l1,
-les entiers p1 <p2 < …< pk  et q1 <q2 <…<ql sont tous premiers et rangés dans l’ordre croissant,
-les exposants a1, a2 …ak ,b1, b2,…,bl sont tous des entiers strictement positifs,
-alors ces deux écritures sont les mêmes (au sens précis suivant : k=l et  i avec l ≤ i ≤ k=l, pi =qi et ai =bi).

§ Les sous-groupes de Z (pour l’addition) sont exactement les bZ, b0.
§  n1, Z/nZ est un corps commutatif ssi n est un nombre premier.

Lemme :
§ a,b,c trois entiers de N*. Si a divise bc et a premier avec c, alors a divise b.

Chapitre VI : Algèbre linéaire

Convention de vocabulaire :
Vecteur = Eléments de Rn.
Scalaire = Nombres réels.

Systèmes d’éléments : Tous les k-uplets d’éléments de E. E un ensemble et k0.

Somme : Soit n0 fixé, e = (x1,…,xn) et f = (y1,…,yn)
La somme de e et f est l’éléments (x1+y1,…,xn+yn) de Rn. on note e+f.
Produit : Soit n0 fixé, e = (x1,…,xn) et   R
Le produit de e et  est l’éléments (x1,…,xn) de Rn. on note e.

Combinaison linéaire : Soit n0 fixé, (e1,…,ek) un système éléments de Rn, et,  un élément de Rn.
, combinaison linéaire de (e1,…,ek)
ssi  des (un k-uplet de) scalaires 1,…,k  R tels que :	 = 1e1+…+kek
Ensemble engendré : Soit n0 fixé, et e = (e1,…,ek) un système d’éléments de Rn. L’ensemble engendré par e est la partie de Rn, ensemble des combinaisons linéaires de e.

Sous-espace vectoriel : Soit n0 fixé.
On dit qu’un sous-ensemble E de Rn est un sous-espace vectoriel de Rn ssi :
	- E n’est pas vide.
	-  u,v de E, la somme u+v est aussi dans E.
	-  u de E et   un scalaire, le vecteur u est aussi dans E.
On peut réduire ces deux dernières conditions à une seule (voir proposition n°2) :
-  u,v de E et tout scalaire , le vecteur u+v est aussi dan E.	

Générateur : Soit n0 fixé, (g1,…,gk) un système de vecteurs de Rn et E un sous-espace de Rn. g est générateur de E (ou qu’il engendre E) ssi E = Rg1+…+Rgk.
Libre : Soit n0 fixé, et (1,…,k) un système de vecteurs de Rn.  est libre ssi :
 1,…,k  R, si 11+…+kk = 0, alors 1=…=k=0.
Lié : Un système de vecteurs est lié ssi il n’est pas libre.

Base : Soit n0 fixé, E un sous-espace vectoriel de Rn et (e1,…,ek) un système de vecteurs. e est une base de E ssi e est libre et engendre E.

Coordonnées : Soit n0 fixé, E un sous-ensemble de Rn, (e1,…,ek) une base de E et v un vecteur de E. Les coordonnées de v dans la base e sont les réels uniquement déterminés 1,…,k tels que :
V = 1e1 + … + kek.

Composantes : pour (x1,…,xn) élément de Rn, on appelle composantes de (x1,…,xn) les réels x1,…,xn.

Base canonique : La base ((1,0,…,0,0),(0,1,…,0,0),(0,0,…,1,0),(0,0,…,0,1)) de Rn est appellée base canonique de Rn.

Somme : Soit n0 fixé et A, B deux parties de Rn. La somme de A et B est la partie de Rn formée des vecteurs v pour lesquels  aA et bB tels que v = a+b.
	
		Propositions :

* Pour chaque n0, l’ensemble Rn est un groupe commutatif pour l’addition.

* Soit n0 fixé. On dit qu’un sous-ensemble E de Rn est un sous-espace vectoriel de Rn ssi :
		- E n’est pas vide.
		-  u,v de E et tout scalaire , la somme u+v est aussi dans E.

* Soit n0 fixé, et (e1,…,ek) un système de vecteurs de Rn. L’ensemble E = Re1+…+Rek est un sous-espace vectoriel de Rn.

* Un système où un vecteur  est répété est lié.

* Si on enlève un vecteur à un système libre, le nouveau système est toujours libre.

* Si on ajoute un vecteur à un système générateur, le nouveau système est toujours générateur.

* Soit n0 fixé,
	-  eRn, (e) est libre ssi e0.
	-  e1,e2Rn, (e1,e2) est libre ssi e10 et e2e1 pour tout scalaire .
	-  k≥1 et tous e1,…,ekRn, (e1,…,ek) est libre ssi (e1,…,ek-1) est libre et ek n’est pas combinaison linéaire de (e1,… ,ek-1).

* Soit n0 fixé, et E un sous-espace vectoriel de Rn. Soit (e1,…,ek-1) unsys de vecteurs de E. Alors : 
	- (e1,…,ek) engendre E ssi  vE,  au moins un k-uplets de scalaires (1,…,k) tel que
v = 1e1+…+kek.
	- (e1,…,ek) est libre ssi  vE,  au plus un k-uplets de scalaires (1,…,k) tel que :
v = 1e1+…+kek.
	- (e1,…,ek) est une base ssi  vE,  exactement un k-uplets de scalaires (1,…,k) tel que :
v = 1e1+…+kek.

* Soit n0 fixé et E, F deux sous-espaces de Rn. Alors E  F est également un sous-espace de Rn.

* Soit n≥0 fixé et E, F deux sous-espaces de Rn. Alors E + f est également un sous-espace de Rn.