Les équations différentielles

I – Les équations différentielles de degré 1 :
Structure : 
     (1)      
a(x) et h(x) sont des fonctions de x données,   f(x) est la fonction inconnue.
Si l’équation n’est pas de cette forme, s’y ramener.

Algorithme de résolution :
Les solutions s’écrivent    (S)
Trouvons g(x) :
g(x) est une solution de l ‘équation de référence    (2)
on retiendra que :
    ,est un réel quelconque, A(x) est une primitive de a(x)
Trouvons f1(x) :
 est une solutions particulière de (1)
  (3)
On calcule , puis on remplace dans (1) : tous les s’en vont, sinon c’est faux ! !
De la, on trouve la valeur de . On le primitive pour trouver , on remplace dans (3) pour retrouver , qu’on remplace dans (S) pour trouver f(x)
Note : est une solution quelconque de (1), ne se cassons pas la tête avec les constantes pour les primitives, on peut les ignorer (donc dire qu’elles valent 0)

II– Les équations différentielles de degré 2 :
Structure :
    (1)
a et b dont des réels donnés , h(x) une fonction de x donnée, f(x) est la fonction inconnue.

Algorithme de résolution :
Les solutions s’écrivent  (S)
Cherchons g(x) :
g(x) est solution de l’équation de référence   (2)
Ramenons cette équation au polynôme du 2è degré     (E)
On calcule , ainsi que la ou les racines dans R ou dans C	(et  réels quelconques)
•	    :     
•	    : 	   
•	    :  on a des racines sous la forme , et on a, dans ce cas : 
   
Cherchons f1(x) :
est une solution particulière de (1)
Tout dépend de la structure de h(x)
Cas A :  h(x) est un polynôme :
Soit n le degré de h(x)
sera aussi un polynôme 
•	de degré n si b<>0
•	de degré n+1 si b=0 et a<>0
•	de degré n+2 si a=b=0
On écrit sous forme du polynôme avec des inconnus comme coefficients. On calcule aisément etqu’on inclue dans (1), on procède par identification pour trouver . Si un coefficient peut prendre une valeur quelconque, on lui en donne une simple (c’est une solution quelconque), ne l’oublions pas !
Cas B : h(x) est de la forme (n réel donné, P(x) fonction polynôme)
On pose tel que  (B)
On calcule les dérivées premières et seconde de et on remplace dans (1), on factorise par , afin de virer ces derniers dans les 2 membres. On est ramené au cas A avec  au lieu de , on n’oubliera pas de bien récupérer ce dernier avec (B)
Cas C : h(x) est de la forme P(x)cos(nx)+Q(x)sin(nx)  (avec P(x) et Q(x) polynômes, n réel)
Est ce que *n est racine complexe de (E) ?
•	non :

•	oui :

Dans ces 2 cas, U(x) et V(x) sont des polynômes de même degré que P(x) et Q(x), on calcule la dérivée première et seconde de , on résout (1) par identification.
Cas D : h(x) est de la forme de C multiplié par 
On procède comme en B en posant un z. On se réfère ensuite au cas C.

Autres cas :
On essaie de transformer h(x) en une somme finie de cas qu’on connaît.
Et donc  (n est le nombre de petites fonctions sommées dans h(x))
On résout alors pour chaque k , 
Et 

Et au fait , il faut conclure ! !
Une fois trouvé, on oublie pas de remplacer dans (S)

Et si rien ne marche ? 
T’essaie d’assurer dans les autres exercices pour amortir les dégâts…
Mais marque toujours « pas de solutions », il se peut que ce soit ça, mais n’y compte pas trop..