Matrices :

Les 3 opérations élémentaires que l’on a le droit de faire sur les matrices :
•	On peut multiplier toute une ligne par un même réel 
•	On peut additionner 2 lignes linéairement
•	On peut swaper 2 lignes

Multiplier 2 matrices :

plus généralement : 

On multiplie linéairement la ligne x de le 1e matrice par la colonne y de la 2è, on met le résultat dans la case x,y pour la destination… La multiplication de matrices n’est pas commutative.

Trouver l’inverse d’une matrice (matrices carrées):
Tel que . Toutes les matrices carrées ne sont pas inversibles.
Soit X et Y 2 matrices à 1 colonne et autant de lignes que A.
Voilà comment ou retrouve l’inverse s’il existe :

, donc en multipliant, cela équivaut à , on résoud donc le système :  
(Il est important, à la sortie du systèmes, d’avoir conservé l’ordre de c et d, et de a et b pour repasser en matrices, sinon, les 3 opérations élémentaires sont à disposition ! !)
En remettant ça sous matrice, on a : 
, on a bien Y = quelque chose * X, et en regardant plus haut, ce quelque chose, c’est 

Transformer une application linéaire en matrice :
Soit : , de 
Prenons la base canonique de l’espace de départ :

, calculons les images de ces bases : 
Une matrice associée à cette application s’écrit : 
 (on écrit les U(e) en colonne)

Echelonnage d’une matrice, et détermination des dimensions :
Utilisation du pivot de Gauss avec la matrice : on cherche à triangulariser la matrice à l’aide des 3 opérations élémentaires.

La diagonales encadrée ici montre l’entrée principale de la colonne, la colonne 3 n’a pas d’entrée principale (= 0), on a 2 colonne à partir de cette colonne sans entrée principale (la 3 et la 4), cela fait 2 colonnes, et ce 2, c’est la dimension du Ker ! 
Quant aux 2 autres colonnes (avant la 3), elles sont 2, c’est la dimension de Im !

Base du KER :
Trouvons x, y, z, t de l’ensemble E de départ tel que U(x, y, z, t) = (0, 0, 0) : on ajoute une colonne à la matrice échelonnée.
, on met cette matrice sous forme de système :   
Dim Ker(u) = 2, on doit trouver 2 vecteurs libres vérifiant le système :

Posons z = 0, alors (1) x = t ; et (2) y = 2t = 2x, soit x = 1, on a le vecteur (1, 2, 0, 1)
Posons t = 0, alors (2) y = -z ; et (1) x = -2z, soit y = 1, on a le vecteur (2, 1, -1, 0)
On a 2 vecteurs qui vérifient le système, donc <(1, 2, 0, 1) ; (2, 1, -1, 0)> est une base de Ker(U)

Base de l’ IM
Soit  v(a, b, c), , on ajoute à la matrice du début, et on l’échelonne en fonction de cette colonne !

On doit obtenir que des 0 dans la dernière ligne. Su ce n’était pas le cas , il n’y aurait pas de Ker, et une base de l’image serait tous les vecteurs de la matrice (ici 4 vecteurs)
Donc en remettant cela sous forme de système, on a 
On a vu que IM(U), c’est 2 vecteurs dans F. 
Posons b = 0, alors a = -c, soit a = 1, on a un vecteur qui est (1, 0, -1)
Posons c = 0, alors a = 2b, soit a = 2, on a un vecteur qui est (2, 1, 0)
Une base de IM(U) s’écrit <(1, 0, -1) ; (2, 1, 0)>

Transformer une base non vectorielle en matrices.
Soit la base  , la matrice , et l’application Ttel que .
Il faut procéder comme avec des vecteurs, (car les vecteurs ne sont rien d’autres que des matrices avec comme hauteur 1 ) on a e1,e2,e3,e4 ; cherchons T(e1), T(e2), T(e3) T(e4) :

Ce n’est pas une combinaison linéaire, mais on peut en faire une avec les e1,e2,e3,e4 :
…  La « difficulté » est passée….
(note : on fait pareil avec les vecteurs ! ! ce paragraphe est pour généraliser…)
En calculant T(e2), T(e3), T(e4), on arrive a pondre une matrice de T = 
Matrice de passage :
Elle est utilisée pour changer de base.
Soit 2 bases de R² :  et . 
On veut la matrice de passage de E à F…
On cherche à exprimer les vecteurs de F en fonction de ceux de E. Ici, on voit aisément que :
(on garde bien l’ordre, piège a con dans les matrices), la matrice de passage est donc .
Et si on demande la matrice de passage de F à E : ça vous emmerde hein ? Dur de trouver facilement une expression des vecteurs de E en fonction de ceux de F.
De F à E, c’est l’inverse que de E à F : la matrice de passage de E à F est l’inverse que celle de F à E. Ici :.
Changement de base :
Gardons les mêmes bases. Soit m(x,y) un point dans la base F. Dans la base E, il aura les coordonnées X et Y telles que : 

Déterminants, propriétés :
Les déterminants se calculent uniquement pour les matrices carrées.
Le déterminant d’une matrice sert surtout à voir si elle est inversible.
•	Si le déterminant est 0, la matrice n’est pas inversible. 
•	Sinon, elle l’est. (Une matrice étant une application linéaire, le déterminant est le facteur de multiplication d’une longueur, d’une aire, d’un volume ou hypervolume entre avant et après l’application. Comme on travaille dans des repères, ces longueurs… peuvent être négatives, comme les aires pour les intégrales…)
L’essentiel, c’est le premier point.
On note la matrice entre traits droits pour dire qu’on parle du déterminent, ou on écrit det devant.

Déterminant d’une matrice 1x1 :
C’est simplement la seule valeur de la matrice…  (ce n’est pas une valeur absolue ! C’est la notation du déterminant)

Déterminant d’une matrice 2x2 :
On emploie la règle du (gamma).
 (dessinez une ligne reliant les éléments dans l’ordre ou vous les prenez, ça fait un gamma…)

Déterminant d’une matrice diagonale :
Une matrice diagonale, c’est quand on a des éléments non nuls sur la diagonales principale, et nuls de partout ailleurs.

Transformer les colonnes par la méthode de Gauss :
N’oublions pas que les matrices sont des colonnes de vecteurs. (voir « transformer une application linéaire en matrice »)
On peut écrire les vecteurs comme combinaison linéaire des autres (si ça nous arrange !)
. Cherchons à avoir une matrice diagonale. Soit u(e2) = u(e2) –3*u(e1). Donc
. Soit u(e1) = u(e1) + (5/2)*u(e2). .
On retombe dans le cas d’une matrice diagonale.
(ok, ici il était plus simple de faire la méthode de la matrice 2x2).
Attention ! Il faut écrire u(e1) = 1*u(e1) + … et u(e2) = 1*u(e2) + … Si vous mettez autre chose que 1, vous tombez dans le cas «multiplier une colonne par une constante», et le déterminant change à la sortie…(essayez avec u(e1) = 5*u(e1) + 2*u(e2)).

Multiplier une colonne par une constante
Si une colonne vous emmerde, vous pouvez multiplier toute une colonne par une constante.
Mais en contrepartie, le déterminant sera multiplié par la même constante.
. Multiplions la 2e colonne par 2. Alors le déterminant est –5*2 = -10.
Evidemment, dans les matrices 2x2, ce n’est pas la meilleur méthode.
Décomposer les matrices en décomposant les colonnes.
Ex : , exemple plus compliqué: 
(car (3,6,9) = (1,3,7) + (2,3,2) )
Plus généralement, on peut décomposer une colonne (donc un vecteur) en 2 vecteurs dont la somme fait le vecteur décomposé. Le déterminant est alors la somme des déterminants des matrices contenant les vecteurs non touchés dans l’ordre et un fragment du vecteur que l’on a décomposé.

Echange de 2 colonnes :
Quand on échange 2 colonnes, les signe du déterminant change.
 ; .
Je calcule avec labeur (avec Maple) le déterminant de la matrice suivante. Et je peux affirmer sans calcul celui de la 2è matrice qui suit :
.Puis, sans calcul, je peux dire : 
(J’ai échangé la 3è et la 5è colonne). Vous pouvez donc interchanger les colonnes à votre guise, mais… gare au signe !

Echange de 2 lignes :
Un mot : pareil. Si on échange 2 lignes, le signe du déterminent est inversé. Attention, ne pas oublier le piège à con : gare au signe quand on fait plusieurs échanges !

Matrice remarquable :
Une matrice avec un 1 quelque part, et que des 0 sur la ligne et la colonne du 1. Visuellement
Ex :. Voilà l’astuce : 
Et comment passer de la 1e matrice 5x5 à la 2è ? En faisant des échanges successifs de lignes et de colonnes. Mais attention aux signe du déterminant, il dépend du nombre d’échanges que vous faites, paire ou impaire (règle des signes).
Attention ! Si vous échangez la ligne 3 avec la 2, puis la 1 avec la 2, vous mettez la ligne particulière en haut comme prévu, mais ça ne donne pas la même chose que si vous échangez directement la 1e et la 3e ligne (les a, b, c … ne seront pas classés pareil à la sortie).
Pour garder a,b,c… dans l’ordre, ici, on a besoin de 2 échanges de lignes, et 3 de colonne, essayez ! Donc 3+2= 5 échanges en tout. Le déterminant de la 2e grosse matrice sera donc l’opposé de celui de la 1e.

Les mineurs : (ça ne peut pas conduire tout seul, arf arf…)
Un mineur, c’est le déterminant d’une matrice dont on enlève une ligne et une colonne.
. On veut le mineur dont on a supprimé la ligne 2 et la colonne 3.Noté .
On récupère la matrice débarrassée de sa ligne 2 et de sa colonne 3 : . Le mineur est alors le déterminant de cette matrice : 
Formule bourrin pour calculer un déterminant :
La formule brute est : 

m est un mineur à calculer, a est un élément donné de la matrice (dont on connaît la ligne et la colonne). On alterne les signes + et – en commençant par +.
Ex : Origine de la règle du gamma (matrice 2x2) (n = 2)
. . Donc en appliquant la formule, on a :
det = .
Ex plus général : (n = 4 par exemple)
=
En bref, on trouve une expression avec des matrices plus petites. Pour bien faire, il faudrait reprendre la formule pour chacune des 4 matrices 3x3, on trouverait alors des expressions avec des matrices 2x2, la on pourrait conclure. Cette formule est récursive… Donc à laisser faire aux machines…
C’est un long calcul, il vaut mieux fortement la connaître au cas ou on est vraiment coincé, mais il faut l’éviter tant qu’on peut, c’est long, c’est long …..

Transposée d’une matrice.
On inverse les lignes et les colonnes d’une matrice : .
Comatrice.
C’est une matrice avec des mineurs comme éléments. Affreusement long à calculer.
Et comme si on envenimait pas les choses, il y a des signes aussi !
(pour savoir le signe, on ajoute le n° de la ligne et celui de la colonne. Si c’est paire, on met +, si c’est impaire, on met -. Si c’est ni paire ni impaire, il faut aller faire une sieste.)

Inverser une matrice, 2è version.
La formule à appliquer connement et avec beaucoup de patience : 

Cette version est plus longue que l’autre ! Bien savoir l’autre surtout.
Inverser une matrice 2x2 par cette méthode.
.
Calculons : 
 ;  ; calculons : det A = a*d – c*b
Donc 					
On a souvent besoin d’inverser une matrice 2x2. Il est donc conseillé d’apprendre ce résultat par cœur pour gagner du temps, ou alors de savoir le retrouver, formellement.

Déterminants par blocs , cas particulier :
•	Si on peut fragmenter une grosse matrice carrée en 4 petites matrices carrées comme suit
•	Si la matrice en bas à gauche ne contient que des 0
•	Si les déterminants des 2 petites matrices en haut à gauche, et en bas à droite est non nul
Alors le déterminant de la grosse matrice est le produit des déterminants des petites matrices en haut à gauche, et en bas à droite.

=
Voilà comment on peut rapidement dans un cas particulier régler son compte à une grosse matrice.
Expression matricielle d’une application linéaire dans une autre base :
On connaît la matrice de l’application linéaire dans la base e : 
On veut celle dans la base f : 
On calcule la matrice de passage (voir « matrice de passage ») P de e vers f.
Alors : 

Test de vecteurs libres.
Il suffit de déterminer si la matrice formée par les vecteurs à tester est inversible (si le déterminant est différent de 0.
Si la matrice formée n’est pas carrée, d’entrée il y trop ou pas assez de vecteurs.
Il faut se placer dans une base pour savoir.
Plaçons nous dans la base de R² canonique.
f1=(1,2)  f2=(3,5)

Le déterminant de ces 2 vecteurs dans la base e est différent de 0, donc f1 et f2 sont libres.
J’ajoute qu’on est dans R², on a 2 vecteurs libres, voilà une nouvelle base.