Polynômes.

Division euclidienne :
Comment effectuer une division euclidienne de 2 polynômes.
Voici la tronche d’une division euclidienne : divisons D = 2x²+2 par d = –x+1.
Pour éviter les erreurs, on écrit toutes les puissances de x :2x²+0x+2.

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Première chose : on cherche un facteur qui annule le terme de plus haut degré. => On a 2x² en terme de plus haut degré en dividende, on veut le virer. On a –x en terme de plus haut degré en diviseur. On voit qu’en mettant –2x en quotient, on annule le 2x² du dividende.
Deuxième chose : on écrit sous le dividende le produit du diviseur par le –2x proposé => 2x²-2x+0.
Troisième chose : on effectue la soustraction. On obtient un nouveau dividende, et on répète ceci jusqu’à ce que le dégré du reste soit plus petit que le degré du diviseur. (deg r < deg d)

On a donc D = q*d + r   ( ou alors D/d = q + r/d )
	
PGCD :
Soit 2 polynômes :

Trouver le PGCD, c’est faire une série de divisions euclidiennes, comme en arithmétique.
On fait l’algorithme d’Euclide : 
p1 = q1*p2 + p3
p2 = q2*p3 + p4
p3 = q3*p4 + p5
:
pn = qn*p(n+1) + 0

On arrête l’algorithme quand le reste est 0. Alors on récupère le p(n+1) (mis en gras).
Ici : 
Ici, on a donc fait 2 divisions euclidiennes (p1/p2) et (p2/p3), on constate que le reste est 0. Donc on récupère p3.
Une dernière petite étape, pour normaliser le PGCD, on demande que le terme de plus haut degré soit 1. Donc ici, on a , on veut en terme du plus haut degré, alors on divise tout le polynôme par un réel => ici on divise tout le polynôme par –3, et donc :
PGCD(p1,p2) = 
Décomposer une fraction rationnelle:
Avantage : plus facile à primitiver, et à dériver.
Soit une fraction rationnelle (polynôme divisé par polynôme). On veut la décomposer en somme de petites fractions plus petites. Fraction . Il faut que deg p < deg q ! 
Si ce n’est pas le cas, on fait une division euclidienne : . On a Q qui est un polynôme, on le laisse, et on s’occupe alors de r/q où on a bien deg r < deg q.

Première étape : factoriser le dénominateur en facteurs irréductibles.
Ex : 
Deuxième étape : écrire formellement avec les inconnus les fractions que l’on obtiendra.
Pour un facteur à la puissance 1, comme (x-1), on a une fraction à dénominateur (x-1).
Pour un facteur à la puissance 2, on a 2 fractions à dénominateurs (x²+2) et (x²+2)²
Si on avait un exposant n, on aurait n fractions à dénominateurs p, p², …, p^n
Pour les numérateurs, c’est un polynôme de degré strictement inférieur à celui du dénominateur. (en ignorant la puissance).
Un polynôme de degré 0 s’écrit (A). Un polynôme de degré 1 s’écrit (Ax + B) … etc…
Ici, on a donc :

Les lettres sont des constantes à trouver maintenant.
1è méthode : fin et délicat. (comme c’est joliment dit , comme une pub de mayonnaise ! hum !)
On multiplie toute l’équation par une expression, et on donne une valeur à x.
Essayez dans l’exemple! Multipliez tout par (x-1) , et posez x = 1. On trouve vite A. (A = 1/3)
Cette méthode est très rapide, mais il est subtil, voir des fois impossible d’isoler une et une seule constante (sinon on s’en sort pas)
2è méthode : bourrin et sûr.
Multiplier tout par le dénominateur du membre de gauche (dénominateur commun pour enlever tout ce qui est fraction.)

Ensuite on développe tout a droite et on rassemble les termes en x, en x² …

On procède par identification en en récupérant le polynôme de gauche, on a :
, on obtient A = 1/3, B = 2/3, C = -1/3, D = -1 , E = 0
Cette méthode est sûre mais assez longue, et il y a risque d’erreurs de calculs. Le mieux est de trouver tout ce qu’on peut avec la 1è méthode, puis de finir par la 2è.