Exercices types sur les suites :

Certaines suites demandent de la ruse, tel le coyote essayant d’attraper bip bip… Voici quelques idées pour résoudre des suites dans des exercices types.

, étudier la convergence.

On étudie la fonction associée : .
=> Cette fonction est décroissante sur [0,1], et décroissante sur [1,[
L’idée est de se dire que l’on va travailler sur une zone croissante, ou décroissante, on va essayer de borner la suite.
, et sur cet intervalle, la fonction est monotone (soit croissante soit décroissante)
Donc si f(0) et f(1) sont dans [0,1], alors tous les points de la suite seront dans [0,1]
Donc ici : , on travaillera dans cet intervalle, la suite est bornée.
FAQ : Et si l’intervalle est en  ? on calcule pour essayer de trouver des bornes finies et on essaie de calculer f(intervalle) comme précédemment. (bien sur, il faut que la fonction soit monotone sur l’intervalle trouvé, sinon, on ne peut pas continuer)

Thorème 1 : si f est croissante sur l’intervalle sur lequel on travaille, alors
•	Si , alors la suite est décroissante.
•	Si , alors la suite est croissante.

Théorème 2 : si f est décroissante, alors (ff) est croissante.

Ici, f est décroissante, on se sert du théorème 2 pour décomposer la suite a en 2 sous suites.
Comme , alors . On a donc une sous suite qui lie les nombres n pairs et une autre qui lie les nombres n impairs.
Et chacune de ces sous suites a une fonction associée croissante (théorème 2)
On peut donc utiliser le théorème 1.
, donc la sous suite des nombres pairs () est croissante.
, donc la sous suite des nombres impairs () est décroissante.
FAQ : si la fonction associée de la suite initiale était croissante ?  Pas besoin du théorème 2, on étudie directement la convergence de la suite, comme on va le faire juste après pour chaque sous suite.

Théorème 3 : la convergence d’une suite est telle que f(L) = L . Si L existe, alors la suite converge vers L.

Comme on a 2 sous suites, pour chacune d’entre elles, la fonction associée est .
Résolvons , (théorème 3) on trouve x = 0 ou 1 ou . Mais , cette solution est éliminée, on a plus que 3 solutions.
La sous suite paire est croissante, et a0 = ½, donc la convergence de cette sous suite, pourrait être, par élimination, que 1, car .
Or la sous suite impaire est décroissante, et a1<1 donc la limite de cette sous suite n’est pas 1, donc les 2 sous suites ne convergent pas vers la même valeur.
Alors la suite initiale n’a pas de limite.
FAQ : si les 2 sous suites avaient la même limite ? Alors la suite initiale convergerait vers cette limite.